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已知函数f(x)=
a
x
+lnx(a∈R)

(1)讨论f(x)的单调性及极值;
(2)设0<a≤
2
,证明:对任意x1x2∈(0,
a
2
),|f(x1)-f(x2)|≥a|x_-x2|
分析:(1)借助于导数,讨论参数,得到函数的单调区间和极值;
(2)借助于(1)的单调区间可知函数在(0,
a
2
)的单调性,构建新函数,再借助其导数,判断新函数的单调性,即得证.
解答:解:(1)由f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

①当a≤0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,若0<x<a,f(x)<0,故函数f(x)在(0,a)上单调递减,
若x>a,f′(x)>0,故f(x)在(a,+∞)上单调递增,
所以极小值f(a)=1+lna,无极大值.
(2)证明:不妨设x1≥x2,而0<a
2
,由(1)知f(x)在(0,
a
2
)的单调递减,
故对任意x1x2∈(0,
a
2
)
,|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|等价于:
对任意x1x2∈(0,
a
2
),f(x2)-f(x1)≥a(x1-x2)

即f(x1)+ax1≤f(x2)+ax2
令g(x)=f(x)+ax,则g′(x)=
ax2+x-a
x2

令h(x)=ax2+x-a,∵0<a
2

∴h(0)=-a<0,h(
a
2
)=
a3
4
+
a
2
-a=
a(a2-2)
4
≤0

g′(x)<0(0<x<
a
2
)
,故g(x)在(0,
a
2
)上单调递减,
又由x1≥x2,∴g(x2)≥g(x1),即f(x2)+ax2≥f(x1)+ax1
对任意x1x2∈(0,
a
2
),|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
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已知函数f(x)=a-
12x+1

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已知函数f(x)
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(a>0且a≠1)图象经过点Q(8,6).
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已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
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(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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