Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）． ①若a= ，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1 ， x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a= ，则由F（x）=x﹣ |x|﹣ =0得： |x|=x﹣ ，

当x≥0时，解得：x=1；

当x＜0时，解得：x= （舍去）；

综上可知，a= 时，函数y=F（x）的零点为1；

②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，

当a＞0时，作图如下：

由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；

同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；

又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；

综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]， ∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a； 当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a； 又对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立， 则h（x1）max-h（x2）min≤6， ①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增； h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）； ∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a， ∴h（x2）min=h（-2）=a-2， ∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2， 综上，-2≤a≤-1； ②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增， 且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增， ∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2， 由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意； ③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减 （当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增； ∴h（x）min=h（0）=-a； 又h（2）=2+a＞a-2=h（-2）， ∴h（x）max=h（2）=2+a， ∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1， ∴1≤a≤2； 综上所述，-2≤a≤2．
【解析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a= ，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．