Question

4．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，$\overrightarrow{m}$=（b-a，a-c-b），$\overrightarrow{n}$=（a-c，b+c），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，且a（sinB-cosC）=c•cosA，则C等于（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得（a-c）（a-c-b）-（b-a）（b+c）=0，化为：a²+c²-b²=ac．利用余弦定理可得：B．由a（sinB-cosC）=c•cosA，利用正弦定理可得：sinA（sinB-cosC）=sinC•cosA，利用和差公式化简可得A，再利用三角形内角和定理即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴（a-c）（a-c-b）-（b-a）（b+c）=0，
化为：a²+c²-b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$．
∵a（sinB-cosC）=c•cosA，
∴sinA（sinB-cosC）=sinC•cosA，
∴sinAsinB=sinAcosC+sinC•cosA，
∴sinAsinB=sin（A+C）=sinB，
∴sinA=1，∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
∴C=π-A-B=π-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积的运算性质、和差公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．