Question

（2006•宣武区一模）这份模拟题出了8道选择题，每题5分，每道题有四个可供选择的答案，一个是正确的，三个是错误的，小伟只知道其中6道题的正确答案，其余两道题完全靠猜测回答．
（Ⅰ）求小伟选择题正确答案不少于7个的概率；
（Ⅱ）设小伟选择题得分为ξ，求ξ的概率分布及Eξ．

Answer 1

分析：（I）事件“小伟选择题正确答案不少于7个”等价于“2道猜测的答案中正确答案至少有1个”，用1减去它的对立事件的概率，即得所求．
（II）由题意可得的ξ可能取值分别为30，35，40，再求出ξ取每个值的概率，即可求得ξ的概率分布和数学期望

解答：解：（I）“小伟选择题正确答案不少于7个”等价于“2道猜测的答案中正确答案至少有1个”，
∴所求事件的概率为1-(

3

4

)2=

7

16

．…（6分）
（II）由题意可得的ξ可能取值分别为30，35，40，

P(ξ=30)=( 3 4 )2= 9 16 P(ξ=35)= C 1 2 • 1 4 • 3 4 = 3 8 P(ξ=40)=( 1 4 )2= 1 16

∴ξ的概率分布为
∴Eξ=30×

9

16

+35×

3

8

+40×

1

16

=32.5．…（13分）

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用
1减去它的对立事件概率．离散型随机变量的分布列及数学期望的定义和求法，属于中档题．