Question

【题目】如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE=1，AE=3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2.

（1）证明：BE//平面ACD；

（2）求三棱锥C﹣AED的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设AF∩BE=O，取AC中点M，连接OM，证明四边形DEOM为平行四边形，从而得到DM//OE，再利用线面平行判定定理证得结论；

（2）由点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离，即可得到

将数据代入即可得答案.

（1）证明：设AF∩BE=O，取AC中点M，连接OM.

∵四边形ABFE为正方形，∴O为AF中点，

∵M为AC中点，∴，.

∵平面ADE平面ABFE，平面ADE平面ABFEAE，DEAE，DE平面ADE，

∴DE平面ABFE；

又∵平面ADE//平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF⊥平面ABFE.

又∵DE=1，FC=2，∴且，

∴，且OMDE，∴四边形DEOM为平行四边形，∴DM//OE.

∵DM平面ADC，BE平面ADC，∴BE//平面ADC.

（2）∵CFDE，DE平面ADE，CF平面ADE，

∴CF平面ADE，

∴点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离.

∴.