Question

【题目】设为等差数列的前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；

（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．

（1）设等差数列的公差为，

则，整理得，

解得，，因此，；

（2），

满足不等式的正整数恰有个，得，

由于，若为奇数，则不等式不可能成立.

只考虑为偶数的情况，令，

则，．

.

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.

所以，，

又，，，，.

因此，实数的取值范围是.