Question

【题目】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，

（1）求数列的通项公式；

（2）若对，都有，求实数a的取值范围；

（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列且证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）的取值范围为

（3）证明见解析

【解析】

（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；

（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的前项和，从而可求出的取值范围；

（3）利用定义进行证明，再利用分类讨论思想求出结果.

解：（1）当时，，解得,

当时，由得，,

所以,

,

因为,

所以,

所以，,

所以;

（2）当为奇数时，,

由，得恒成立,

令，则,

所以,

当为偶数时，,

由，得恒成立,

所以,

因为,

所以的取值范围为.

（3）证明：当时，若为奇数，则，

令等比数列的公比，则，

设，

因为，

所以

,

因为为正整数，

所以数列是数列中包含的无穷等比数列，

因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，

因此无穷等比数列有无数个.