Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）若函数的图象均在轴上方，求的取值范围；

（2）记为函数在上的零点，若存在唯一的，使得，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围；

（2）先利用“为函数在上的零点”得到的取值范围，并得到结论，然后利用另一个条件，再次得到的取值范围，其中涉及隐零点问题，最后综合两次所得的取值范围求出结果．

（1）由题意可得不等式对任意的恒成立，则，

，则，令，列表如下：

		极小值

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

所以，函数的最小值为，

由题意可得，解得，

因此，实数的取值范围是；

（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，

因为为函数在上的零点，所以，，①

且有，解得.

，，

令，则，

，，函数单调递增，即函数单调递增，

而，，

所以，存在，使得，即，②

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，函数在区间上的最小值为，

由①②得，所以，，

所以，在上恒成立，

又因为存在唯一的，使得且，则，

所以，，解得.

，，因此，实数的取值范围是.