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    【题目】已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．

    （1）求证：为定值及动点的轨迹的方程；

    （2）不在轴上的点为上任意一点，与关于原点对称，直线交于另外一点．求证：直线与直线的斜率的乘积为定值，并求出该定值．

    【答案】（1）见解析，（2）见解析，．

    【解析】

    （1）圆的圆心为，半径为，根据中垂线有为定值，再利用椭圆的定义求解.

    （2）设，，则，，再根据点，都在椭圆上，有，，代入化简求解.

    （1）证明：如图所示：

    圆的圆心为，半径为，

    为定值，且，

    所以动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，

    设标准方程为，

    可得，，，

    故所求动点的轨迹的方程为；

    （2）证明：如图所示：

    设，，则，

    ∵，都在椭圆上，∴，，

    ∴，

    ∴．

    所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且为．

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    【题目】如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且，点F是BC上一点，且．

    （1）当时，证明：；

    （2）是否存在一个常数k，使得三棱锥的体积等于四棱锥的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

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    【题目】设为等差数列的前项和，且，．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了如图的散点图．

    温度/℃

    20

    22

    24

    26

    28

    30

    32

    产卵数/个

    6

    10

    22

    26

    64

    118

    310

    26

    79．4

    3．58

    112

    11．6

    2340

    35．72

    其中．

    （1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该昆虫的产卵数与温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．

    （2）根据表中数据，建立关于的回归方程；（保留两位有效数字）

    （3）根据关于的回归方程，估计温度为33℃时的产卵数．

    （参考数据：）

    附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，．

    （Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；

    （Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，，其中.

    （1）若函数的图象均在轴上方，求的取值范围；

    （2）记为函数在上的零点，若存在唯一的，使得，且，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，三棱柱中， 平面， ， ， 分别为， 的中点.

    （1）求证： 平面；

    （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在直三棱柱中，，，是的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）试问线段上是否存在点，使与面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．

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