Question

【题目】坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）已知点在曲线上，点Q在曲线上，若的最小值为，求此时点的直角坐标.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；消除曲线的参数方程为（t为参数）中的参数即可得到曲线的普通方程；

（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得的最小值列等式即可解得.

（1）由得

即

把代入得

，

故曲线的直角坐标方程为

∵曲线的参数方程为(为参数)，

的普通方程为；

（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数)

可设点的直角坐标为

∵曲线是直线，

的值大于等于点到直线的距离，

点到直线的距离

∴当，的最小值为，

即，

此时，点的直角坐标为