Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-mf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设g（x）的图象上任意一点（x，y），则关于原点对称点的坐标为（-x，-y），
代入f（x）=x²+2x，可得-y=x²-2x，
∴y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x …（6分）
（Ⅱ）h（x）=g（x）-mf（x）=-x²+2x-m（x²+2x）=-（1+m）x²+2（1-m）x
求导函数可得h′（x）=-2（1+m）x+2（1-m） …（9分）
依题设知：h（x） 在[-1，1]上是增函数且非常函数，则在[-1，1]上h′（x）≥0恒成立．
∴，解得：m≤0…（12分），
分析：（Ⅰ）设g（x）的图象上任意一点（x，y），则关于原点对称点的坐标为（-x，-y），代入f（x）=x²+2x，即可得结论；
（Ⅱ）求导函数，根据h（x） 在[-1，1]上是增函数且非常函数，则在[-1，1]上h′（x）≥0恒成立．建立不等式组，即可求得结论．
点评：本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．