Question

已知，，且，在和处有极值．

（1）求实数的值；

（2）若，判断在区间内的单调性．

 

Answer 1

(1);(2)当时，在区间内的单调递增；当时，在区间内的单调递增，在区间内的单调递减；当时，在区间内的单调递减；当时，在区间内的单调递减，在区间内的单调递增；当，在区间内的单调递增．

【解析】

试题分析：（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上是单调递增或单调递减的函数没有极值；（3）函数的最值是整体概念，而函数的极值是局部概念，极大值和极小值没有必然的大小关系；(4)利用函数的单调性与导数的关系，若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：【解析】
（1）由，得，∴，即，∴.

∴， 从而． 3分

∵在和处有极值，

∴，， 5分

解得：，， 7分

经检验：，满足题意． 8分

（2）由（1），，．

令，得或；令，得．

∴在，上单调递增，在上单调递减． 9分

若，即时，在区间内的单调递增； 10分

若，即时，在区间内的单调递增，在区间内

的单调递减； 11分

若，即时，在区间内的单调递减； 12分

若，即时，在区间内的单调递减，在区间内的单调递增

若，在区间内的单调递增． 14分

考点：(1)利用函数的极值求参数；（2）利用导数求函数的单调区间.