Question

（本小题满分14分）
抛物线D以双曲线的焦点为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

Answer 1

解：（1）由题意，
所以，抛物线D的标准方程为                   …………3分
（2）设由
抛物线D在点A处的切线方程为…………4分
而A点处的切线过点即
同理，可见，点A，B在直线上．
令所以，直线AB过定点Q（1，1） …………6分
  （3）设

直线PQ的方程为
由得
由韦达定理，       …………9分
而

…………12分
将代入方程（*）的左边，得
（*）的左边
=0
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．      …………14分

略