Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令bn=

an

4n

．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），得出当n≥2时，3Sn-1=4an-1-4n-4，两式相减，整理得出an= 4an-1+3×4n，易证明数列{b_n}是等差数列．
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2，按照数学归纳法的步骤进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，3S1=4a1-42-4，∴a₁=20
当n≥2时，3Sn-1=4an-1-4n-4
∴3Sn-3Sn-1=4an -4an-1-3×4n
即an= 4an-1+3×4n
b_n-b_n-1=

an

4n

-

an-1

4n-1

=3
所以数列{b_n}是以3为公差的等差数列，首项b₁=

a1

4

=5
数列{b_n}的通项公式为b_n=5+（n-1）×3=3n+2．
得出a_n=（3n+2）•4ⁿ
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2
①当n=1时，f（1）=18，显然能被18整除；
②假设当n=k（k≥1）时，f（k）=（3k+2）•4^k-2能被18整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+3+2）•4^k+1-2=4×（3k+2）•4^k-2+3×4^k+1
=（3k+2）•4^k-2+12×4^k+3×（3k+2）•4^k
=（3k+2）•4^k-2+（9k+18）•4^k
=f（k）+9（k+2）•4^k
∵k≥1，∴9（k+2）•4^k能被18整除．
又f（k）能被18整除，∴f（k+1）能被18整除．
即 当n=k+1时 结论成立．
由①②知，当n∈N^*时，f（n）是18的倍数．

点评：本题考查等差数列的判定、通项公式求解，考查变形构造、转化计算能力．还考查数学归纳法．