Question

某商场预计2015年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量p（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12，x∈Z⁺）（单位：件）
（1）写出第x个月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x个月的销售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x＜7，x∈Z+ x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12，x∈Z+

（单位：件），每件利润q（x）=

10ex

x

（单位：元），求该商场销售该商品，预计第几个月的月利润达到最大值？月利润的最大值是多少？（参考数据：e⁶≈403）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当x≥2时，f(x)=p(x)-p(x-1)=

1

2

x(x+1)(41-2x)-

1

2

(x-1)x(43-2x)=3x(14-x)，验证对x=1成立即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的最大值．

解答： 解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=39；----------------------------------------（1分）
当x≥2时，f(x)=p(x)-p(x-1)=

1

2

x(x+1)(41-2x)-

1

2

(x-1)x(43-2x)=3x(14-x)---（2分）
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈Z⁺）--------------------------------------（5分）
（2）设月利润为h（x），则h(x)=q(x)g(x)=

30ex(7-x)，1≤x＜7，x∈Z+ 10 3 x3-100x2+960，7≤x≤12，x∈Z+

-------------（6分）
∴h′(x)=

30ex(6-x)，1≤x≤7，x∈Z+ 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12，x∈Z+

----------------------------------（8分）
当1≤x≤6时，h'（x）≥0，当6＜x＜7时，h'（x）＜0，h（x）在x∈[1，6]单调递增，在（6，7）上单调递减-------------（9分）
∴当1≤x＜7且x∈Z⁺时，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090，---------------（11分）
当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上单调递增，在（8，12）上单调递减，----------------------（12分）
当7≤x≤12且x∈Z*时，h（x）_max=h（8）=2987＜12090，----------------（13分）
综上，预计该商品第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元-----（14分）

点评：本题主要考查学生的分析问题、解决问题的能力，考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值的知识及学生的运算求解能力，属于中档题．