Question

已知函数f（x）=x²-2ax-1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，试求函数y=

f(x)

x

（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由y=

f(x)

x

=

x2-4x+1

x

=x+

1

x

-4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x²-2ax-1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）=x²-2ax-1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得y=

f(x)

x

=

x2-4x+1

x

=x+

1

x

-4．
因为x＞0，所以x+

1

x

≥2，当且仅当x=

1

x

时，即x=1时，等号成立．
所以y≥-2．
所以当x=1时，y=

f(x)

x

的最小值为-2．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）-a=x²-2ax-1，所以要使得“?x∈[0，2]，
不等式f（x）≤a成立”只要“x²-2ax-1≤0在[0，2]恒成立”．
不妨设g（x）=x²-2ax-1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．
因为g（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a²，
所以

g(0)≤0 g(2)≤0

即

0-0-1≤0 4-4a-1≤0

，解得a≥

3

4

．
所以a的取值范围是[

3

4

，+∞）． …（13分）

点评：本题主要考查函数的最值即恒成立问题的划归转化等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．