Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，若S₂₀₁₁，S₂₀₁₀，S₂₀₁₂成等差数列，且S₁=1，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：首先讨论当等比数列q=1是否满足题干条件，然后讨论当q≠1时，由S₂₀₁₁，S₂₀₁₀，S₂₀₁₂成等差数列，求出q的值，再求出等比数列的通项公式．

解答：解：当等比数列的公比q=1时，
若S₂₀₁₁，S₂₀₁₀，S₂₀₁₂成等差数列，
则2×2010a₁=2011a₁+2012a₁，
解得a₁≠S₁=1，
故q≠1，
当q≠1时，若S₂₀₁₁，S₂₀₁₀，S₂₀₁₂成等差数列，a₁=S₁=1，
则2

a1(1-q2010)

1-q

=

a1(1-q2011)

1-q

+

a1(1-q2012)

1-q

，
解得q=-2，
∴a_n=（-2）^n-1，
故答案为：a_n=（-2）^n-1．

点评：本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出等比数列的公比q，此题难度不是很大．