Question

【题目】为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：

每分钟跳绳个数					185以上
得分	16	17	18	19	20

年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：

（1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）；

（2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：

①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数）

②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差．

（若随机变量服从正态分布则，，）

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①；②的分布列为：

	0	1	2	3

【解析】

(1)先分析可得有四种大的情况,再根据排列组合的方法求概率即可.

(2)①根据正态分布的特点求解的概率再利用总人数求解即可.

②易得满足二项分布,再根据二项分布的公式计算分布列与数学期望和方差即可.

(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况：

①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17；

③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分.

由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.

则由古典概型的概率计算公式可得.

故两人得分之和小于35分的概率为

(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：

,又由,得标准差,

所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.

①因为,故.

故估计每分钟跳绳164个以上的人数为

②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为.

所以,所有可能的取值为.

所以,

,

.

故的分布列为：

	0	1	2	3