Question

17．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=0，f（3）=-1，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×（0+1+0-1）=0．
故答案为：0

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．