Question

5．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a+b=3$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）斜率为1的直线l不经过点P（4，1），交椭圆M不同的A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过点P，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率和a+b=3$\sqrt{5}$，求出a，b，由此能求出椭圆M的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m，将y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，得5x²+8mx+4m²-20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直，结合题意能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${e}^{2}=1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴a=2b，
∵a+b=3$\sqrt{5}$，∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
∴椭圆M的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）设直线l的方程为y=x+m，将y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
并整理，得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
由题意知$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，得（x₁-4，y₁-1）•（x₂-4，y₂-1）=0，
x₁x₂-4（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+17=0，
化简，得m²+6m+9=0，解得m=-3，
经检验，得m=-3符合，
∴直线l的方程为x-y-3=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直的合理运用．