Question

16．在菱形ABCD中，对角线AC=4，E为CD的中点，则$\overrightarrow{AE•AC}$=12．

Answer 1

分析 设菱形的边长为a，运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用整体代入，计算即可得到所求值．

解答 解：设菱形的边长为a，
由$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{AC}$²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，
即有16=2a²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，
即a²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=8，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{3}{2}$（a²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{3}{2}$×8=12．
故答案为：12．

点评 本题考查向量的运算，主要考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．