Question

4．关于函数$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}），（x∈R）$有下列命题：
①f（x）的表达式可改写为$f（x）=4cos（2x-\frac{π}{6}）$；
②f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称；
③f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称；
④f（x）在区间$（-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}）$上是减函数；
其中正确的是①②．（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象和性质，诱导公式，得出结论．

解答 解：关于函数$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}），（x∈R）$，f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（$\frac{π}{6}$-2x）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故①正确．
由于当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=0，可得f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称，故②正确．
当x=$\frac{π}{3}$时，求得f（x）=0，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，故排除③．
在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$）上，2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），函数f（x）为增函数，故排除D，
故答案为：①②．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，诱导公式，属于基础题．