Question

10．在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=2，则V_{四面体ABCD}的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 2$\sqrt{11}$
• C． 2$\sqrt{15}$
• D． 8

Answer 1

分析 作BE⊥AD于E，连接CE，取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰三角形时几何体的体积最大，求解即可．

解答 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
取BC中点F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，即需BE最大，
以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，则A（-3，0），D（3，0），
设B（x，y），则∵$\frac{AB}{BD}$=2，
∴AB=2BD，
∴（x+3）²+y²=4（x-3）²+4y²，
∴（x-5）²+y²=16，
∴BE最大为4，此时CE=4，$\frac{AC}{CD}$=2．
∴EF=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，
故四面体ABCD的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}×6$=2$\sqrt{15}$
故选：C．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．