Question

20．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k＞0．若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上有（　　）个零点．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 不确定

Answer 1

分析 利用参数分离法先求出k的取值范围，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的零点个数．

解答 解：由$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$=0得k=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，函数的定义域为（0，+∞），
设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，则h′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{2（lnx）^{2}}$，
由h′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
则当x＞$\sqrt{e}$时，h′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$时，h′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=$\sqrt{e}$时，函数取得极小值h（$\sqrt{e}$）=$\frac{（\sqrt{e}）^{2}}{2ln\sqrt{e}}=e$，
∵f（x）存在零点，∴k＞e，
f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，则是f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，在$（{1，\sqrt{e}}]$上为增函数，
则f′（x）＜f′（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{k}{\sqrt{e}}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{\sqrt{e}}$=$\sqrt{e}$-$\sqrt{e}$=0，
即函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上为减函数，
f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$-kln$\sqrt{e}$=$\frac{e}{2}$-$\frac{k}{2}$=$\frac{e-k}{2}$＜0，
即函数f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上只有1个零点，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数单调性和导数的关系，利用参数分离法结合构造法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．