Question

15．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），P为直线$x=\frac{a^2}{c}$上一点，F₁P的垂直平分线恰过F₂点，则e的取值范围为（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$
• D． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$

Answer 1

分析 设点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点K的坐标，根据 线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出m²的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．

解答 解：由题意得F₁（-c，0）），F₂（c，0），设点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），
则由中点公式可得线段PF₁的中点K（$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}$，$\frac{m}{2}$），
∴线段PF₁的斜率与 KF₂的斜率之积等于-1，
∴$\frac{m-0}{\frac{{a}^{2}}{c}+c}$•$\frac{\frac{m}{2}-0}{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}-c}$=-1，
∴m²=-（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$-3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥$\frac{1}{3}$，或e²≤-1（舍去），
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又椭圆的离心率0＜e＜1，故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e＜1，
故选：D．

点评 本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．