Question

设M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由题意可得M表示以原点O为圆心，半径等于

2

a的半圆（位于横轴或横轴以上的部分）．N表示以O′（1，

3

）为圆心，半径等于a的一个圆．再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点．当半圆和圆相外切时，求得a的值；当半圆和圆向内切时，求得a的值，从而求得可得a的最大值和最小值．

解答：解：M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，即{（x，y）|x²+y²=2a²，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于

2

a的半圆（位于横轴或横轴以上的部分）．
N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，表示以O′（1，

3

）为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相且或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO′|=2=

2

a+a，求得a=2

2

-2；当半圆和圆向内切时，由|OO′|=2=2

2

-2，求得a=2

2

+2．
故a的范围是[2

2

-2，2

2

+2]，a的最大值为2

2

+2，最小值为2

2

-2．

点评：本题主要考查两个圆的位置关系的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．