Question

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=4，c=2$\sqrt{2}$，cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（1）求b和sinC的值；
（2）求cos（2A+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）先利用余弦定理求出b，由平方关系求出sinA的值，再利用正弦定理求出sinC的值．
（2）先利用和差角公式和二倍角公式把cos（2A+$\frac{π}{6}$）展开，再代入数据即可求解．

解答 解：（1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：16=b²+8-2b×$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}$=b²+8+2b，
∴b²+2b-8=0，
∴b=2或-4（舍去），
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
（2）cos（2A+$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$-sin2Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2cos²A-1）-$\frac{1}{2}$×2sinAcosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2×$\frac{2}{16}$-1）-$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式和二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．