Question

4．过抛物线x²=2y上一点A（不与原点O重合）作抛物线的切线m，过A作m的垂线l，若l恰好经过（0，2），则点A的坐标为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）．

Answer 1

分析 设点A的坐标（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），用点斜式求得m的垂线l的方程，再把点（0，2）代入可得a的值，从而求得点A的坐标．

解答 解：设点A的坐标（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），则切线m的斜率为y′|_x=a=a，
m的垂线l的方程为y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{1}{a}$•（x-a）．
把点（0，2）代入可得a=±$\sqrt{2}$，则点A的坐标为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1），
，故答案为：$（\sqrt{2}，1）$或$（-\sqrt{2}，1）$．

点评 本题主要考查抛物线的性质，导数的几何意义，用点斜式求直线的方程，属于中档题．