Question

3．已知函数f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx，（0＜ω＜2），且f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）试求ω的值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=2-|f（x）-$\sqrt{3}$|-kx（k∈R）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数进行化简，利用f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）求出ω的值
（Ⅱ）求出g（x），分成两个不同函数，采用数形结合法，依次在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上对k不同是值，看两个函数的交点问题．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx，
可得：f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx+$\sqrt{3}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}$，
由：f（x-$\frac{π}{6}$）=f（x+$\frac{π}{2}$），可得：f（x）=f（x+$\frac{2π}{3}$），
根据函数周期性质有：k•T=$\frac{2π}{3}$，k∈N*，即：k•$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∵0＜ω＜2，
解得：$ω=\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由函数g（x）=2-|f（x）-$\sqrt{3}$|-kx（k∈R）
化简：g（x）=|2sin（3x+$\frac{π}{3}$）|+2-kx，
令h（x）=|2sin（3x+$\frac{π}{3}$）|，y=2=kx，那么g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上零点的个数等价于函数h（x）与y=2-kx图形在
[0，$\frac{7π}{18}$]上的交点个数．
数形结合：
画出h（x）的函数图象如图：
最高点A为（$\frac{π}{18}，2$），B为（$\frac{7π}{18}$，2）
与x轴的交点C为（$\frac{2π}{9}，0$）
讨论y=2-kx在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上的情况：
当直线经过C点时，此时k=$\frac{9}{π}$．
当k＜0，两函数图象无交点；
当k=0，两函数图象有2个交点；
当0＜k＜$\frac{9}{π}$，两函数图象有3个交点；
当k=$\frac{9}{π}$，两函数图象有2个交点；
当k＞$\frac{9}{π}$，两函数图象有1个交点；
因此：当k＜0，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上没有零点；
当0＜k＜$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有3零点；
当k=0，k=$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有2零点；
当k＞$\frac{9}{π}$，g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{18}$]上有1个零点．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和化简能力，利用数形结合法讨论零点问题．属于中档题．