Question

已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）已知：x∈[-

π

2

，

π

3

]，求函数f（x）单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）按向量

a

平移后得到函数g（x），且函数g（x）=2cos2x，求向量

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+1，由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围即得单调减区间，再由x∈[-

π

2

，

π

3

]，进一步确定单调减区间．
（Ⅱ）把 f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1=2sin2（x+

π

12

 ） 项左平移个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，可得向量

a

．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1．  由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴当k=-1时，∴-

5π

6

≤x≤-

π

3

；  当k=0时，∴

π

6

≤x≤

2π

3

，
又∵x∈[-

π

2

，

π

3

]，∴ -

π

2

≤x≤-

π

3

，或

π

6

≤x≤

π

3

，
所以，函数f（x）单调减区间为：[-

π

2

， -

π

3

]和[

π

6

， 

π

3

]．
（Ⅱ）g(x)=2cos2x=2sin(2x+

π

2

)=2sin2(x+

π

4

)，
把 f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1=2sin2（x+

π

12

 ） 项左平移

π

6

个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，
 故 g(x)=2sin2(x+

π

12

+

π

6

)+1-1=2sin2(x+

π

4

)，所以，向量

a

=(-

π

6

，-1)．

点评：本题考查正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+∅）图象的变换，求函数f（x）单调减区间是解题的难点．