Question

如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB，A₁B₁分别为圆O，圆O₁的直径．
（Ⅰ）求证：BP⊥A₁P；
（Ⅱ）若该圆柱的体积V=12π，OA=2，∠AOP=

2

3

π，求二面角P-A₁B-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由圆的性质得AP⊥BP，由线面垂直得AA₁⊥BP，从而得到BP⊥平面PAA₁，由此能证明BP⊥A₁P．
（Ⅱ）以PB为x轴，PA为y轴．过P点的母线所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-A₁B-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵点P在圆柱的底面圆O上，AB，A₁B₁分别为圆O，圆O₁的直径，
∴AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，
得AA₁⊥BP，且AP∩AA₁=A，
∴BP⊥平面PAA₁，
故BP⊥A₁P．…（5分）
（Ⅱ）解：如图建系（以PB为x轴，PA为y轴．过P点的母线所在直线为Z轴）
∵V_柱=12π，OA=2，∴AA₁=3，
由∠AOP=

2

3

π，知∠PAB=

π

6

，又∠APB=

π

2

，
从而BP=2，AP=2

3

，
∴P(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，2

3

，3)，A(0，2

3

，0)，
设平面AA₁B和法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1 • AB =0 n1 • AA1 =0

知

n1

=(

3

，1，0)
设平面PA1B的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
由

n2 • BP =0 n2 • PA1 =0

知

n2

=(0，

3

，2)…（10分）
由题意知二面角P-A₁B-A为锐二面角，
cosθ=|cos?

n1

，

n2

＞|=|

3

2 7

|=

21

14

因而所求二面角P-A₁B-A的余弦值为

21

14

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．