Question

20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数的单调递增及单调递减区间；
（Ⅳ）求函数f（x）的最大及最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用偶函数的定义，若x＜0，则-x＞0，代入已知解析式且f（-x）=f（x），得所求解析式；
（Ⅱ）根据函数解析式，画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）根据函数f（x）的图象，指出函数的单调递增及单调递减区间；
（Ⅳ）根据函数f（x）的图象，求相应的最小值．

解答 解：（Ⅰ）若x＜0，则-x＞0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=-x²+4x
∴f（x）=f（-x）=[（-x）²-4（-x）]=x²+4x
（Ⅱ）函数f（x）的图象如图所示；

（Ⅲ）函数的单调递增区间（-2，0），（2，+∞）；单调递减区间（-∞，-2），（0，2）；
（Ⅳ）由图象可得函数f（x）的最大值不存在，最小值为-4．

点评 本题考查了偶函数的定义及其应用，利用函数的对称性求函数值及函数解析式，二次函数的最值，属于中档题．