Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.

(1)若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；

(2)设有且仅有一个实数x₀，使得f(x₀)=x₀，求函数f(x)的解析表达式.

Answer 1

解：(1)因为对任意x∈R，有f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x，

    所以f(f(2)-2²+2)=f(2)-2²+2.

    又由f(2)=3，得f(3-2²+2)=3-2²+2,

    即f(1)=1.

    若f(0)=a，则f(a-0²+0)=a-0²+0,

    即f(a)=a.

(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x,

    又因为有且只有一个实数x₀，使得f(x₀)=x₀,

    所以对任意x∈R，有f(x)-x²+x=x₀.

    在上式中令x=x₀，有f(x₀)-+x₀=x₀,

    又因为f(x₀)=x₀，所以x₀-=0，故x₀=0或x₀=1.

    若x₀=0，则f(x)-x²+x=0，即f(x)=x²-x.

    但方程x²-x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x₀≠0.

    若x₀=1，则有f(x)-x²+x=1，即f(x)=x²-x+1.

    易验证该函数满足题设条件.

    综上，所求函数为f(x)=x²-x+1，x∈R.