Question

13．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据几何体的三视图可得：该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体．设AB=1，则截取的部分为三棱锥E-BCD，V_剩余部分=V_{四棱锥P-ABCD}-V_{三棱锥E-BCD}．即可得出．

解答 解：根据几何体的三视图可得；
该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体．
设AB=1，则截取的部分为三棱锥E-BCD，
V_{三棱锥E-BCD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．
V_{四棱锥P-ABCD}=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×PA$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$．
剩余部分的体积V_剩余部分=V_{四棱锥P-ABCD}-V_{三棱锥E-BCD}=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$．
∴剩余部分体积与原四棱锥体积的比值=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了四棱锥与四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．