Question

3．已知偶函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1），且$f（\frac{1}{e}）=0$．当0＜x＜1时，（1-x²）ln（1-x²）f'（x）＞2xf（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{1}{e}，0）∪（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（-\frac{1}{2}，0）∪（\frac{1}{2}，1）$
• C． $（-1，-\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，1）$
• D． $（-1，-\frac{1}{2}）∪（0，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$，根据已知可判断g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$在（0，1）上为增函数，进而可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数f（x）为偶函数，且$f（\frac{1}{e}）=0$可得答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）ln（1-{x}^{2}）-f（x）•\frac{2x}{1-{x}^{2}}}{l{n}^{2}（1-{x}^{2}）}$，
∵当0＜x＜1时，（1-x²）ln（1-x²）f'（x）＞2xf（x），
∴$f′（x）ln（1-{x}^{2}）-f（x）•\frac{2x}{1-{x}^{2}}$＞0，
即g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$在（0，1）上为增函数，
则f（x）在（0，1）上为减函数，
又由函数f（x）为偶函数，且$f（\frac{1}{e}）=0$．
故当x∈$（-1，-\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，1）$时，f（x）＜0，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，构造法解决函数综合性问题，导数的综合应用，难度中档．