Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ
（1）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）若A、B分别为曲线C₁，C₂上的动点，求当|AB|取最小值时△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（2）当A，B，C₁，C₂四点共线，且A，B在线段C₁C₂上时，|AB|取最小值，求出|AB|长，及原点到直线的距离，可得此时△AOB的面积．

解答 解：（1）由曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t为参数），
可得曲线C₁的普通方程为：（x-4）²+（y-5）²=9，
由曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
将ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入得：
C₂的直角坐标方程为：x²+y²=2y，配方为x²+（y-1）²=1．
（2）如图，当A，B，C₁，C₂四点共线，且A，B在线段C₁C₂上时，|AB|取最小值，

由（1）得：C₁（4，5），C₂（0，1），
∴${k}_{{C}_{1}{C}_{2}}=\frac{5-1}{4-0}$=1，
故直线C₁C₂的方程为：x-y+1=0，
∴点O到直线C₁C₂的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵|AB|=|C₁C₂|-1-3=4$\sqrt{2}$-4，
故△AOB的面积S=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．