Question

9．下列命题中真命题的个数是（　　）
（1）有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱．
（2）四棱锥的四个侧面可以是直角三角形．
（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
（4）圆锥的轴截面是所有过圆锥顶点的截面中面积最大的．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1），不符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱；
（2），在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中四棱锥A₁-ABCD四个侧面可以是直角三角形；
（3），用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台；
（4），利用过圆锥顶点的截面中面积等于$\frac{1}{2}$l²sinθ，其中θ为两条母线l的夹角，可以判断正误；

解答 解：对于（1），有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱．故错；
对于（2），在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中四棱锥A₁-ABCD四个侧面可以是直角三角形．正确；
对于（3），用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台，故错；
对于（4），∵过圆锥顶点的截面中面积等于$\frac{1}{2}$l²sinθ，其中θ为两条母线l的夹角，若轴截面的顶角为锐角或直角，则锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
若轴截面的顶角为钝角，则当θ=$\frac{π}{2}$时，过顶点的截面中面积最大，故错；
故选：A．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征，是基础题．