Question

19．在正数数列{a_n}中，a₁=2，且点$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直线x-9y=0上，则{a_n}的前n项和S_n等于（　　）

• A． 3ⁿ-1
• B． $\frac{{1-{{（{-3}）}^n}}}{2}$
• C． $\frac{{1+{3^n}}}{2}$
• D． $\frac{{3{n^2}+n}}{2}$

Answer 1

分析 代入点$（a_n^2，a_{n-1}^2）$，化简可得数列{a_n}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

解答 解：在正数数列{a_n}中，a₁=2，且点$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直线x-9y=0上，
可得a_n²=9a_n-1²，即为a_n=3a_n-1，
可得数列{a_n}为首项为2，公比为3的等比数列，
则{a_n}的前n项和S_n等于$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1．
故选：A．

点评 本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用．