Question

4．数列{a_n}各项均为正数，且满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．记${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$，数列{b_n}前n项的和为S_n，若S_n＜t对任意的n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=3，利用等差数列的通项公式可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：∵满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列，公差为3，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列{b_n}前n项的和为S_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$，
若S_n＜t对任意的n∈N^*恒成立，∴$t≥\frac{1}{3}$．
则实数t的取值范围是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．
故答案为：$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．