Question

13．如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点为A，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于 P，Q 两点．若∠PAQ=60°，且|PQ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，则双曲线C 的渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． y=±3x
• D． $y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$

Answer 1

分析 确定△QAP为等边三角形，A到渐近线的距离=$\frac{b}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，即可得出结论．

解答 解：因为∠PAQ=60°，所以△QAP为等边三角形，
渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），A到渐近线的距离=$\frac{b}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
所以3b²=a²，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得双曲线C 的渐近线方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．