Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，上顶点为B，M 为线段BF 的中点，若∠MOF=30°，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出BF的中点M的坐标，利用∠MOF=30°，得到a，b关系，通过a，b，c的关系，求出椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知M（$\frac{c}{2}，\frac{b}{2}$），∵∠MOF=30°，所以tan30°=$\frac{b}{c}$，∴c²=3b²．
又b²=a²-c²，所以4a²=3c²，所以椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的基本性质，椭圆的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．