Question

20．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{4}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}={4^{a_n}}-\frac{1}{{4{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系即可得出．
（II）利用等比数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1；…（1分）
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+3n}}{4}-\frac{{{{（{n-1}）}^2}+3（{n-1}）}}{4}=\frac{n+1}{2}$，…（2分）
因为a₁=1也适合上式，…（3分）
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{n+1}{2}$． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}=\frac{n+1}{2}$，
所以${b_n}={4^{\frac{n+1}{2}}}-\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$=${2^{n+1}}-（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$． …（6分）
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（{{2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}}）-[{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{{{2^2}-{2^{n+1}}•2}}{1-2}-（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）$=${2^{n+2}}-4-\frac{n}{{2（{n+2}）}}$（或${2^{n+2}}-\frac{9n+16}{{2（{n+2}）}}$． …（12分）

点评 本题考查了“裂项求和法”、等比数列的通项公式及求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．