Question

15．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，若△ABC 的面积为2$\sqrt{3}$，AB 边上的中线长为2，且$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$bcosC+csinB，则边b=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可求tanB，结合B的范围可求B的值，利用三角形面积公式可求ac=8，再利用余弦定理可求c²=32-4a²，联立解得a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$bcosC+csinB，
∴由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC=$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB，
可得：$\sqrt{3}$cosBsinC=sinCsinB，
∵C为三角形内角，sinC≠0，可得：$\sqrt{3}$cosB=sinB，
∴可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，
如图，设D为AB的中点，则CD=2，
∵△ABC 的面积为2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ac=8，①
又∵在△BCD中，由余弦定理可得：2²=（$\frac{c}{2}$）²+a²-2×$\frac{c}{2}×a×$$\frac{1}{2}$，
整理可得：4=$\frac{{c}^{2}}{4}$+a²-$\frac{1}{2}$ac=$\frac{{c}^{2}}{4}$+a²-4，解得：c²=32-4a²，②
∴联立①②，解得：c=4，a=2，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．