Question

4．直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x²+y²=1的交点为C，D．给出下列命题：p：?a＞0，S_△AOB=$\frac{1}{2}$，q：?a＞0，|AB|＜|CD|．则下面命题正确的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧￢q
• C． p∧￢q
• D． ￢p∧q

Answer 1

分析 利用已知条件求出三角形的面积，判断p的真假；求出|AB|与|CD|的差，判断大小，推出真假，然后判断选项即可．

解答 解：直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0与x，y轴的交点分别为A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
S_△AOB=$\frac{1}{2}$$•a•\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴p是真命题；
直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0与x，y轴的交点分别为A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，
直线l与圆O：x²+y²=1的交点为C，D．d=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$，
|CD|=2$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$，|AB|²-|CD|²=${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}-4$≥0，
∴|AB|≥|CD|，
所以q假，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查直线与圆的位置关系的应用，直线的特征，考查转化思想以及计算能力．