Question

20．在区间[-2，3]中任取一个数m，则使“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的离心率大于$\sqrt{3}$的概率是（　　）

• A． $\frac{7}{10}$
• B． $\frac{3}{10}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的离心率大于$\sqrt{3}$，则$\frac{{m}^{2}-1+4-m}{{m}^{2}-1}$＞3，解得-2＜m＜-1，-1＜m＜1，1＜m＜$\frac{3}{2}$，可得区间长度，求出在区间[-2，3]上随机取一个实数m的区间长度，即可得出结论．

解答 解：因为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的离心率大于$\sqrt{3}$，则$\frac{{m}^{2}-1+4-m}{{m}^{2}-1}$＞3，解得-m＜-1，m＞1，1＜m＜$\frac{3}{2}$，所求概率为$\frac{-1+2+\frac{3}{2}-1}{3+2}$=$\frac{3}{10}$．
故选B．

点评 本题考查了椭圆的方程以及几何概型的公式；属于基础题．