Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10x-1，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$（e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）-kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （1，e）
• B． （e，10]
• C． （1，10]
• D． （10，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=0得出f（x）=kx，做出y=kx与y=f（x）的函数图象，则两图象有两个交点，求出y=f（x）的过原点的切线的斜率即可得出k的范围．

解答 解：令g（x）=0得f（x）=kx，
∵g（x）有两个零点，
∴直线y=kx与y=f（x）有两个交点，
做出y=kx和y=f（x）的函数图象，如图所示：

设y=k₁x与曲线y=e^x相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={k}_{1}{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=e}\\{{k}_{1}=e}\end{array}\right.$．
∵y=kx与y=f（x）有两个交点，
∴k的取值范围是（e，10]．
故选B．

点评 本题考查了函数零点的个数与函数的图象的关系，属于中档题．