Question

已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=

x2

1+x

．
（1）证明：对任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）若不等式(1+

1

n

)n+a≤e对任意的n∈N^*都成立（其中e为自然对数的底数），求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）构造函数h(x)=f(x)-g(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，求出函数的最大值为0，即可证明对任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）不等式(1+

1

n

)n+a≤e等价于不等式（n+a）ln（1+

1

n

）≤1，借用（1）结论，构造新函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最值，即可求出a最大值．

解答：（1）证明：构造函数h(x)=f(x)-g(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，函数h（x）的定义域是（-1，+∞），
h′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

．
设F（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则F'（x）=2ln（1+x）-2x．
令G（x）=2ln（1+x）-2x，则G′（x）=-

2x

1+x

．
当-1＜x＜0时，G'（x）＞0，G（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，G'（x）＜0，G（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以G（x）在x=0处取得极大值，而G（0）=0，所以F'（x）＜0（x≠0），
∴函数F（x）在（-1，+∞）上为减函数．
于是当-1＜x＜0时，F（x）＞F（0）=0，当x＞0时，F（x）＜F（0）=0．
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故函数h（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
∴h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0
∴h（x）≤0，∴对任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）解：不等式(1+

1

n

)n+a≤e等价于不等式（n+a）ln（1+

1

n

）≤1．
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
设M（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈（0，1]，则M′（x）=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

由（1）知，ln²（1+x）-

x2

1+x

≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以M'（x）＜0，x∈（0，1]，于是M（x）在（0，1]上为减函数．
故函数M（x）在（0，1]上的最小值为M（1）=

1

ln2

-1．
所以a的最大值为

1

ln2

-1．

点评：本题以函数为载体，考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题时构造新函数，确定函数的单调性与极值时关键．