Question

已知函数f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）x∈（1，+∞）．
（1）x=

3

2

是函数的一个极值点，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，函数g（x）=-x²-b，（b＞0），若对任意m₁，m₂∈[

1

e

+1，e+1]，

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2g2+2g都成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若x=

3

2

是函数f（x）的一个极值点，求导得到f′（

3

2

）=0得，求a；
（2）由（1）得到的导数，考虑f（x）的定义域，利用导数与单调性的关系即可确定函数的单调区间；
（3）若对任意m₁，m₂∈[

1

e

+1，e+1]，

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2e2+2e都成立，转化为求函数f（x）在区间∈[

1

e

+1，e+1]上的最大值与函数g（x）在区间∈[

1

e

+1，e+1]上的最小值的差小于2e²+2e即可，从而建立关于b的不等关系求出b的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）
f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

，…（2分）
∵x=

3

2

是函数的一个极值点，
∴f′（

3

2

）=0
解得：a=

3

2

…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

=

2x(x-a)

x-1

又f（x）的定义域为（1，+∞）．
∴当a≤1时，函数f（x）的单调增区间（1，+∞）．…（6分）
当a＞1时，函数f（x）的单调增区间（a，+∞），减区间为（1，a）．…（…（8分）
（3）当a=2时，由（2）知f（x）在（1，2）减，在（2，+∞）增．
∵f（2）=0，f（

1

e

+1）=

1

e2+1

，f（e+1）=e²-3
∴y=f（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域为[0，e²-3]…（10分）
∵函数g（x）=-x²-b在[

1

e

+1，e+1]上是减函数，
∴y=g（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域为[-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b]…（11分）
∵b＞0
∴-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b都小于0
∴

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2e2+2e，只要e²-3-[-（e+1）²-b]=e²-3+（e+1）²+b=2e²+2e-2+b＜2e²+2e即可
…（12分）
解得：0＜b＜2…（14分）

点评：考查x=x₀是极值点是f′（x₀）=0的充分非必要条件，考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属难题．