Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{|a_n-n-2|}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a_n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a_n；
（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a_n-n-2|}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
∴a₁+a₂=4，a₂=2S₁+1=2a₁+1，
解得a₁=1，a₂=3，
当n≥2时，a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即a_n+1=3a_n，当n=1时，a₁=1，a₂=3，
满足a_n+1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，则数列{a_n}是公比q=3的等比数列，
则通项公式a_n=3^n-1．
（Ⅱ）a_n-n-2=3^n-1-n-2，
设b_n=|a_n-n-2|=|3^n-1-n-2|，
则b₁=|3⁰-1-2|=2，b₂=|3-2-2|=1，
当n≥3时，3^n-1-n-2＞0，
则b_n=|a_n-n-2|=3^n-1-n-2，
此时数列{|a_n-n-2|}的前n项和T_n=3+$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-$\frac{（5+n+2）（n-2）}{2}$=$\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}$，

则T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{3，}&{n=2}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，}&{n≥3}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a_n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．