Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），且满足a+b=3$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，试问k₁+k₂是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=$\sqrt{2}$，由条件可得a，即可求出椭圆C的方程；
（2）k₁+k₂为定值，且k₁+k₂=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式求出k₁+k₂，然后化简求解即可．

解答 解：（1）由题意可得b=$\sqrt{2}$，
又a+b=3$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）k₁+k₂为定值0，证明如下：
设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0．
当△=4m²-8m²+16＞0，即-2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点，
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m．x₁•x₂=2m²-4，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
又y₁=$\frac{1}{2}$x₁+m，y₂=$\frac{1}{2}$x₂+m，
所以（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=（$\frac{1}{2}$x₁+m-1）（x₂-2）+（$\frac{1}{2}$x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁•x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
故k₁+k₂=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，化简整理的运算能力，属于中档题．